九个本不该有闭合表达式的物理学常数

1937 年,物理学家亚瑟·爱丁顿 (Arthur Eddington) 写了一篇论文,声称精细结构常数的倒数 — 量纲为零的数 $1/\alpha$,它控制电磁相互作用的强度 — 正好等于 137。不是近似 137,是正好。他给出了推导,涉及 16 维代数中的元素计数。它是错的,意思是后来的高精度测量最终给出 $1/\alpha = 137.0359...$,不是整数 137。但这个错误留下了印记。在二十世纪的大部分时间里,“爱丁顿”成了物理学家用来打发任何试图为基本常数找到闭合表达式的人的代名词。

仍有一些人继续尝试。保罗·狄拉克在 1937 年提出引力会随宇宙时间减弱,动机是电磁力与引力之比和宇宙年龄之间的可疑数值巧合。地质证据在五十年内将其证伪。1951 年,德国物理学家弗里德里希·伦茨 (Friedrich Lenz) 给《Physical Review》写了一封两句话的信,指出质子与电子的质量比几乎正好等于 $6\pi^5$。信里没有理论,没有推导。它就此结束。75 年后,没有人解释过这种吻合;它仍然精确到 $1.88 \times 10^{-5}$。

换句话说,寻找物理学常数闭合表达式的历史,大部分是失败的历史。命理学家在大池塘中钓鱼,偶尔捞起看起来像鱼的东西。仔细检查后,这些大多被证明是来自一个过于宽松的词汇空间中的巧合。

我几周前贴在 Zenodo 上的一篇论文 — DAEDALUS 综述 — 认为对一组特定的九条数值关系而言,正在发生一些不寻常的事。不是因为单个吻合特别精确(有些是,有些不是),而是因为它们聚集在一起:横跨物理学六个独立部门的九条关系,全都是闭合形式,全都来自同一个特定的小词汇,全都未被解释。这种聚集偶然出现的概率不是零,但比任何单一吻合偶然出现的概率小得多。综述对这九条关系做了汇总,并诚实地说明了它们究竟落在物理学和命理学之间的哪个位置。

本文是对这一规律的导览。

“物理学常数”是什么意思

第一步技术性较强,但值得一段。物理学的无量纲常数是不依赖单位选择的数值比率。电子质量以千克计是一个依赖单位的量;若我们用普朗克单位测量一切,它会是另一个数。但电子质量与普朗克质量的比率 $m_e/m_{\rm Pl}$ 是无单位的,任何星系任何文明只要建立起基本物理,就会得到同一个数。$1/\alpha$(精细结构常数倒数,大约 137)、强耦合常数、弱混合角、普朗克单位下的宇宙学常数、标准模型中各种 Yukawa 耦合等等,都是这样。现代物理中大约有两打这样的常数,而传统的解读认为每一个都是输入 — 自由参数,以某种方式被固定下来,没有期望的闭合表达式。

传统解读对它们为什么取这些值无话可说。它只是记下它们。

这一规律

横跨物理学的六个部门,以下是其中九个无量纲量及其闭合形式表达式:

• 精细结构常数。经验值 $1/\alpha = 137.035999$。闭合形式:$\pi + \pi^2 + 4\pi^3 = 137.0363$。精度:百万分之 2.2。
• 普朗克单位下的宇宙学常数。经验值 $\Lambda \ell_{\rm Pl}^2 \approx 2.85 \times 10^{-122}$。闭合形式:$(\alpha^4/4\pi)(m_e/m_{\rm Pl})^5$。精度:1.9%(唯一一条超过亚百分位的条目)。
• 引力耦合。经验值 $\alpha_G = G m_e^2 / \hbar c \approx 1.75 \times 10^{-45}$。闭合形式:$\alpha^8 y_e^5$,其中 $y_e$ 是电子与希格斯场的耦合。精度:0.024%。
• 强耦合数 $\alpha_s^{-1}(M_Z) \approx 8.46$。闭合形式:由同一几何机制导出的一个腔室加权比率。精度:0.3%。
• 低能弱混合角。经验值 $\sin^2\theta_W(0) \approx 0.2386$。闭合形式:$3/(4\pi) = 0.2387$。精度:0.03%。
• 电子 Yukawa 耦合 $y_e \approx 2.94 \times 10^{-6}$。闭合形式:$(1 - 1/(2\pi)) \, e^{-4\pi}$。精度:0.09%。
• μ 子-τ 子质量比满足黄金比例缩放。预测的 μ 子质量精度:0.24%。预测的 τ 子质量精度:0.54%。(详见单独一篇文章。)
• π 介子-电子质量比 $m_\pi/m_e \approx 273.13$。闭合形式:$2(\pi + \pi^2 + 4\pi^3) = 274.07$。精度:0.05%。
• W 玻色子质量与希格斯真空期望值之比 $M_W/v \approx 0.32636$。闭合形式:$1/\sqrt{3\pi} = 0.32574$。精度:0.21%。

九条中八条达到亚百分位精度。一条(宇宙学常数)在 1.9%。宇宙学常数那一条是最松的吻合,但对于一个与朴素量子场论相差 122 个数量级的量来说,1.9% 的闭合形式本身就值得注意。

每条关系左侧的常数都是独立测量的。CODATA 通过精密原子物理实验给出 $\alpha$;Particle Data Group 通过对撞机物理给出 $M_W$;宇宙学界通过超新星距离和宇宙微波背景涨落给出 $\Lambda$。这些群体之间不会就闭合形式互相交流。每个测量项目都是独立的。等式右侧 — 闭合形式 — 是 $\pi$、黄金比例 $\varphi$、小 Fibonacci 数和小有理数的简单表达式。词汇是受限的。

这与爱丁顿的不同之处

爱丁顿式的担忧是,只要数学词汇足够灵活,任何数都能匹配上。仅 $\pi$ 一项,允许带小整数系数的低次多项式,试空间就已达数百万。匹配一个常数到百万分之几的精度,意外成功的概率并不小。

DAEDALUS 综述认真对待这一担忧。一篇配套论文 — DAEDALUS 方法学论文 — 显式执行了”别处看”审计:它在三种不同的形式语法下,估计每种语法可能出现多少种不同的闭合表达式。严格语法 — 仅预先注册的原子,操作受限 — 容许 $10^2$ 到 $10^3$ 个候选表达式。受约束语法(更多原子、更多操作)容许 $10^7$ 到 $10^{12}$ 个。宽松语法(无约束)容许多达 $10^{17}$ 个。

结论是:在严格语法下,九条吻合中有六条作为统计上可辩护的存活下来。规律在那个层面上是真实的。在宽松语法下 — 爱丁顿式钓鱼会发生的地方 — 规律消失在噪声中。所以问题变成:我们处在哪种语法之中?

综述主张严格的那种,理由是右侧实际只用一组小的原始符号($\pi$、$\varphi$、小 Fibonacci 数、小有理数),且在找到吻合之前就已预先注册。提出这些闭合形式的框架 — 扭量构型几何 (TCG) — 把这些原始符号识别为某个具体的构型空间构造的输出。在这幅图景下,有限词汇不是被选择的限制;它是关于框架能产生哪些数学对象的结构性事实。

这一论证本身是可争议的,但它是真正的论证,不是命理学。综述对它依赖严格语法的解读是诚实的。

与 Cabibbo 角的对照

有一个有用的先例。1963 年,尼古拉·卡比博 (Nicola Cabibbo) 注意到奇夸克衰变率约为下夸克衰变率的 $\sin^2\theta_C$ 倍,其中 $\theta_C \approx 13°$ 是单一一个数。“Cabibbo 角”没有推导。1970 年代组装的标准模型把 Cabibbo 角作为经验输入。六十年后它仍然是经验输入。我们没有推导出它。

没人称 Cabibbo 角为命理学。我们称它是一个尚未理解的参数。

DAEDALUS 综述为这九条关系提议同样的地位:它们是处于Cabibbo 层级的经验规律 — 真实存在,经过几十年的测量仍然成立,约束未来的理论,但尚未被推导出来。1981 年提出的 Koide 带电轻子质量公式属于同一地位。还有少数几个。它们不是失败的理论;它们是经验输入的精化,该领域尚未将其吸收进更深的结构。

综述的主张不是这九条关系是一种推导。它主张这九条关系是 Cabibbo 层级名录里的九个新条目:看起来像结构性根基的经验信号,而非偶然的经验信号。

这件事将如何被定夺

两件事将决定这一规律是真实的还是巧合。第一是随时间的精度变化。在九条关系中,$1/\alpha = 137.035999$ 与 $\pi + \pi^2 + 4\pi^3 = 137.0363$ 的左侧测得最多。CODATA 每隔几年就把 $\alpha$ 的实验值收紧。如果在不确定度收缩时 $1/\alpha$ 偏离 $\pi + \pi^2 + 4\pi^3$ — 残差变大 — 结构性解读就被证伪。如果它保持在原处,残差仅因实验不确定度收缩而变小但中心值稳定,这一解读就存活下来。

第二是时间变化。结构性解读最强的经验承诺是基本常数不随时间变化。横跨数十年的原子钟比对、来自早期宇宙的类星体吸收谱、月球激光测距 — 这些都对 $\alpha$ 和 $m_p/m_e$ 自大爆炸以来变化的幅度施加约束。当前的约束很紧(每年 $\alpha$ 变化的上限达 $10^{-16}$ 量级)。它们会变得更紧。结构性解读预测它们会持续收紧,且永远不会发现变化。如果探测到非零变化,整个计划就此告终。

这些是真正的可证伪条件。这就是综述坚持区分命理学和 Cabibbo 层级经验规律的原因:命理学在测量结果不同时没有什么可输的。结构性解读输的是一切。

这归根结底是什么

DAEDALUS 综述并不是在论证物理学已被解决,或某个新理论已被推导出来,或标准模型是错的。它是在论证九个独立测得的无量纲比率在受限的词汇下都允许闭合表达式,这种聚集在传统的”自由参数”读法下不大可能,而这一规律看起来更像是某个结构性框架的尾迹,而非偶然。

如果你只从中带走一件事:物理学的常数可能不是输入。它们可能是我们尚未识别的结构的输出。这个结构究竟是综述所伴随的候选框架 — 扭量构型几何 — 还是其他什么,或者根本不是任何东西,将由未来一二十年的精密测量来定夺。结构性解读做出可证伪的赌注:常数留在原处,残差随实验不确定度而非随中心值漂移而收缩,且不发现时间变化。

如果这个赌注赢了,我们将需要找到结构。如果输了,九条吻合最终是巧合,综述将与爱丁顿的归在一起。我们将在二十年内得到答案。

论文 “DAEDALUS: A Review of Nine Numerical Observations on Fundamental Constants and a Twistor Configuration Geometry Framework” 已在 Zenodo 发表,DOI 10.5281/zenodo.19984246,CC-BY-4.0 许可。