TCG 中的壁删除:通往 Pati-Salam 统一的 (B−L) 量子化桥梁

摘要

我们将 TCG 的腔室分解从单纯的腔室计数提升为完整的 $A$ 型外尔配置结构(公设 P7,本文首次命名)。在 P7 之下,层 $n = 1, 2, 3$ 携带平凡型、$A_1$ 型与 $A_3$ 型的根系数据,层间合计的李代数为 $\mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{su}(4)$,总嘉当秩为 $4$,与标准模型的秩一致。

层 $n = 3$ 处的一次壁删除 — 由删除 $A_3$ Dynkin 图中一条单根所诱导的抛物 Levi 约化,在几何上实现为沿被删根方向对 $A_3$ 嘉当子代数的投影 — 把 $\mathfrak{su}(4)$ 约化为 $\mathfrak{su}(3) \oplus \mathfrak{u}(1)$。再与层 $n = 2$ 未删除的 $A_1 = \mathfrak{su}(2)$ 结合,得到抽象代数 $\mathfrak{su}(3) \oplus \mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{u}(1)$,其作为李代数与标准模型规范代数同构,但作为物理规范结构并不相同(其阿贝尔因子被识别为 $(B-L)/2$,而非弱超荷 $Y$)。

我们显式地计算了那个阿贝尔生成元:在端点删除处的壁删除 $\mathfrak{u}(1)$ 方向即基本权 $\omega_3 = \tfrac{1}{4}(1, 1, 1, -3)$,作用于 $A_3$ 的基本表示其本征值之比为 $1 : -3$,(在差一总体归一化的意义下)将其识别为 Pati-Salam 的 $(B-L)/2$ 生成元,出自 $SU(4) \to SU(3)_C \times U(1)_{B-L}$。

因此,被删除的那个 $\mathfrak{u}(1)$ 不是标准模型的弱超荷 $Y$;构造落在 Pati-Salam 统一群 $SU(4) \times SU(2)_L \times SU(2)_R$ 的一个子代数上,缺失了完整标准模型超荷 $Y = T_{3R} + (B-L)/2$ 所需的 $\mathfrak{su}(2)_R$ 因子。

$(B-L)$ 电荷量子化(TCG Gap 6 的部分解决)从 $A_3$ 权格结构自动给出:夸克 $(B-L)/2 = +1/6$,轻子 $(B-L)/2 = -1/2$。在标准模型层面的完整电荷量子化仍需要那个缺失的 $T_{3R}$。

我们将李理论意义下的单根删除、TCG 中的几何嘉当投影、以及 Man 仿射联络表示中的标架场约束,识别为同一种结构群约化的并行实现;我们并不主张三者之间存在一一推导。

预先注册了四个诊断性问题,其中缺失的 $\mathfrak{su}(2)_R$ 问题(Q4)被指认为主要的新结构性缺口。本文不推导标准模型的现象学;它在以 P7 为前提的条件下,识别出通往 Pati-Salam 统一的一座结构性桥梁。

DOI

https://doi.org/10.5281/zenodo.20045987