现象学跑动分数 Laplacian 与量子时空的谱维数流

摘要

我们研究以标度依赖的分数 d’Alembertian $(-\Box)^{\alpha(\ell)}$ 作为量子引力中观察到的维数约化的现象学模型。在 Calcagni 的分数算子框架内,谱维数 $d_s = 4/\alpha$ 从红外的 $d_s = 4$ 流向紫外的一个低于 $4$ 的值,由单一跑动指数 $\alpha(\ell)$ 控制。我们将一个三参数 sigmoid 拟设拟合到 Ambjørn、Jurkiewicz 与 Loll(2005)所发表的谱维数数据,得到 $\alpha_{\rm UV} = 2.42 \pm 0.17$($d_s^{\rm UV} = 1.65 \pm 0.12$),在 $0.6\sigma$ 水平上与 CDT 结果 $d_s^{\rm UV} = 1.80 \pm 0.25$ 一致。

我们对四种替代函数形式(指数型、拉伸指数型、有理函数型、Gauss 型)做稳健性检验;拟合值 $\alpha_{\rm UV}$ 在 $1.74$ 至 $5.0$ 范围内变化,因此数据与 Calcagni 的超可重整化区间 $\alpha > 2$ 一致,但并不强制要求该区间。我们在拟合值处数值验证一圈 tadpole 与自能积分的有限性,与幂次数估计一致。

第 8 节将所得结果与 Lauscher–Reuter(2005)渐近安全性预测 $d_s^{\rm UV} = 2$ 进行比较,并阐明标量动能算子的跑动分数指数与渐近安全性中跑动宇宙学常数之间的关系。该框架保持现象学性质。$\alpha > 1$ 时的幺正性要求 Calcagni 与 Rachwał(2022)发展的 Anselmi–Piva fakeon 处方。

DOI

https://doi.org/10.5281/zenodo.19557695