TCG 中的壁刪除:通往 Pati-Salam 統一的 (B−L) 量子化橋樑

摘要

我們將 TCG 的腔室分解從單純的腔室計數提升為完整的 $A$ 型外爾配置結構(公設 P7,本文首次命名)。在 P7 之下,層 $n = 1, 2, 3$ 攜帶平凡型、$A_1$ 型與 $A_3$ 型的根系數據,層間合計的李代數為 $\mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{su}(4)$,總嘉當秩為 $4$,與標準模型的秩一致。

層 $n = 3$ 處的一次壁刪除 — 由刪除 $A_3$ Dynkin 圖中一條單根所誘導的拋物 Levi 約化,在幾何上實現為沿被刪根方向對 $A_3$ 嘉當子代數的投影 — 把 $\mathfrak{su}(4)$ 約化為 $\mathfrak{su}(3) \oplus \mathfrak{u}(1)$。再與層 $n = 2$ 未刪除的 $A_1 = \mathfrak{su}(2)$ 結合,得到抽象代數 $\mathfrak{su}(3) \oplus \mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{u}(1)$,其作為李代數與標準模型規範代數同構,但作為物理規範結構並不相同(其阿貝爾因子被識別為 $(B-L)/2$,而非弱超荷 $Y$)。

我們顯式地計算了那個阿貝爾生成元:在端點刪除處的壁刪除 $\mathfrak{u}(1)$ 方向即基本權 $\omega_3 = \tfrac{1}{4}(1, 1, 1, -3)$,作用於 $A_3$ 的基本表示其本徵值之比為 $1 : -3$,(在差一總體歸一化的意義下)將其識別為 Pati-Salam 的 $(B-L)/2$ 生成元,出自 $SU(4) \to SU(3)_C \times U(1)_{B-L}$。

因此,被刪除的那個 $\mathfrak{u}(1)$ 不是標準模型的弱超荷 $Y$;構造落在 Pati-Salam 統一群 $SU(4) \times SU(2)_L \times SU(2)_R$ 的一個子代數上,缺失了完整標準模型超荷 $Y = T_{3R} + (B-L)/2$ 所需的 $\mathfrak{su}(2)_R$ 因子。

$(B-L)$ 電荷量子化(TCG Gap 6 的部分解決)從 $A_3$ 權格結構自動給出:夸克 $(B-L)/2 = +1/6$,輕子 $(B-L)/2 = -1/2$。在標準模型層面的完整電荷量子化仍需要那個缺失的 $T_{3R}$。

我們將李理論意義下的單根刪除、TCG 中的幾何嘉當投影、以及 Man 仿射聯絡表示中的標架場約束,識別為同一種結構群約化的並行實現;我們並不主張三者之間存在一一推導。

預先註冊了四個診斷性問題,其中缺失的 $\mathfrak{su}(2)_R$ 問題(Q4)被指認為主要的新結構性缺口。本文不推導標準模型的現象學;它在以 P7 為前提的條件下,識別出通往 Pati-Salam 統一的一座結構性橋樑。

DOI

https://doi.org/10.5281/zenodo.20045987