現象學跑動分數 Laplacian 與量子時空的譜維數流

摘要

我們研究以標度依賴的分數 d’Alembertian $(-\Box)^{\alpha(\ell)}$ 作為量子引力中觀察到的維數約化的現象學模型。在 Calcagni 的分數算子框架內,譜維數 $d_s = 4/\alpha$ 從紅外的 $d_s = 4$ 流向紫外的一個低於 $4$ 的值,由單一跑動指數 $\alpha(\ell)$ 控制。我們將一個三參數 sigmoid 擬設擬合到 Ambjørn、Jurkiewicz 與 Loll(2005)所發表的譜維數數據,得到 $\alpha_{\rm UV} = 2.42 \pm 0.17$($d_s^{\rm UV} = 1.65 \pm 0.12$),在 $0.6\sigma$ 水平上與 CDT 結果 $d_s^{\rm UV} = 1.80 \pm 0.25$ 一致。

我們對四種替代函數形式(指數型、拉伸指數型、有理函數型、Gauss 型)做穩健性檢驗;擬合值 $\alpha_{\rm UV}$ 在 $1.74$ 至 $5.0$ 範圍內變化,因此數據與 Calcagni 的超可重整化區間 $\alpha > 2$ 一致,但並不強制要求該區間。我們在擬合值處數值驗證一圈 tadpole 與自能積分的有限性,與冪次數估計一致。

第 8 節將所得結果與 Lauscher–Reuter(2005)漸近安全性預測 $d_s^{\rm UV} = 2$ 進行比較,並闡明純量動能算子的跑動分數指數與漸近安全性中跑動宇宙學常數之間的關係。該框架保持現象學性質。$\alpha > 1$ 時的幺正性要求 Calcagni 與 Rachwał(2022)發展的 Anselmi–Piva fakeon 處方。

DOI

https://doi.org/10.5281/zenodo.19557695